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By Bernard Le Stum

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2), alors il existe une unique isomorphisme u : E1 ⊕ E2 E tel que u(x, 0) = i1 (x), u(0, y) = i2 (y), p1 (u(x, y)) = x et p2 (u(x, y)) = y. 3. Si on se donne un ensemble X, on peut considérer les différentes inclusion ix : K → K (X) pour x ∈ X. On pose alors 1x := ix (1) ∈ K (X) si bien que pour tout a ∈ K, ix (a) = a1x . Si on voit les éléments de K (X) comme des familles, on aura donc (ax )x∈X = ∑ ax 1x . x∈X 4. Alternativement, on peut considérer dans F f (X, K) les applications indicatrices (notées de la même façon) 1 si x = y ∀x, y ∈ X, 1x (y) = 0 sinon, et on aura toujours f = ∑x∈X f (x)1x .

3. Chapitre 3. 9 On se donne un espace vectoriel E et, pour tout s ∈ S, un sous-espace vectoriel Es ⊂ E et une partie Xs ⊂ X. Les conditions suivantes sont alors équivalentes 1. Les Xs sont disjoints deux à deux et X := ∪s∈S Xs est une base de E, 2. (a) E ⊕s∈S Es et (b) pour tout s ∈ S, Xs est une base de Es . Démonstration. On considère le diagramme commutatif ⊕s∈S K (Xs ) / K (X)   /E ⊕s∈S Es et on vérifie que les Xs sont disjoints deux a deux si et seulement si la flèche du haut est bijective (exercice).

Démonstration. L’application d’inclusion B → E s’étend de manière unique en une application linéaire K (B) → F (propriété universelle) et il suffit de composer avec l’inverse de l’isomorphisme K (B) E pour obtenir u. Toutes les autres assertions sont triviales si on considère l’application composée dans l’autre sens K (B) E → F (attention, on utilise ici la notion de famille et pas celle de partie). Remarque On peut aussi vérifier que l’on a : 1. L libre et u injective ⇒ u(L) libre, 2. G génératrice et u surjective ⇒ u(G) génératrice.

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